6) ¿V o F? Justificando.
a) Un triángulo puede tener un ángulo interior que mida 55º, otro 85º y el tercero de 40º.
b) Un triángulo equilátero se puede clasificar como obtusángulo.
c) El ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de los tres ángulos interiores del triángulo.
d) En un triángulo rectángulo, la suma de los ángulos no rectos es 90º.
7) Completa la tabla. Justificando cada fila.
8) a) Construye un triángulo ABC con regla y compás sabiendo que:
b) Traza la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
c) ¿cómo se llama dicha circunferencia?
d) ¿cómo ubicaste su centro?
e) ¿cómo se llama el centro?
9) a) Definir bisectriz de un ángulo.
b) Traza la bisectriz de un ángulo de 30º.
c) Ubica el ortocentro: “O “ y el circuncentro: “C “ en el triángulo rectángulo, sin realizar trazados y utilizando, (solamente la regla).
10) Construye un triángulo PRS escaleno y obtusángulo.
a) Define ortocentro de un triángulo y ubícalo en PRS.
b) Define incentro de un triángulo y ubícalo en PRS.
c) ¿Cómo se llama la circunferencia tangente a los tres lados de un triángulo?, ¿quién su centro?
11) a) ¿Quién es la mediana de un triángulo?
b) ¿Quién es el baricentro de un triángulo?.
c) Ubica en cada triángulo el baricentro “G ”:
1 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:
1 Los catetos.
2 La altura relativa a la hipotenusa.
3 El área del triángulo.
2 Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma cm.
3 Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
4 Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
5 El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
6 Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
Cómo hacer una raíz cuadrada
Separa los dígitos de dos en dos.
La mejor manera de explicar cómo se hace una raíz cuadrada es con un ejemplo. Vamos a hacer la raíz cuadrada del número 64.253. El número a partir de ahora se llamará radicando, el símbolo de la raíz será radical y cada cajetilla que abramos para hacer operaciones renglón de la raíz. El primer paso consiste en separar los dígitos del radicando de dos en dos de derecha a izquierda. Si hubiera decimales hay que dividir primero los enteros de derecha a izquierda y después la parte decimal a la inversa, de izquierda a derecha. En este caso no pueden quedar dígitos individuales, por lo que añadiremos un cero cuando lo necesitemos.
2Busca un número que multiplicado por sí mismo se acerque a tu primer dígito.
Hay que buscar un número cuyo cuadrado (multiplicar por si mismo) se acerque, nunca pase, la primera cifra del radicando, que en nuestro caso es 6. El número que encontremos lo apuntamos en el segundo renglón de la raíz, llamados auxiliares porque nos ayudan a descifrarla. La primera incógnita es 2, que al multiplicarse por si mismo da 4. Ese número hay que restarlo ahora al radicando (6-4) y anotar debajo el resultado (2).
3Baja los otros dos dígitos y sigue la operación.
Sigue estos pasos: Baja las dos siguientes cifras del radicando (42), sube la primera incógnita a la primera casilla (2) y escribe su doble en la tercera auxiliar. Una vez realizado esto seguimos con la operación. Vuelve a separar los dígitos del radicando que nos queda (242) dejando fuera la última cifra (2). Ahora divide el primer grupo de dígitos entre el número que haya en la tercera auxiliar (24/4). La cifra resultante la debes poner junto al dígito del tercer auxiliar y multiplicar por esa misma cifra (46X6) y comprobar que el resultado no es superior al radicando que tenemos. Si lo supera, debes bajar un número la incógnita.
4Baja más dígitos y sube la segunda incógnita arriba.
En nuestro ejemplo 46X6 son 276, lo que supera a 242, por lo que debemos utilizar el 5, y la operación es 45X5=225. Resta el resultado al radicando: 242-225=17. Ahora baja los siguientes dos dígitos (53) y después sube el 5 junto al 2.
5En el cuarto renglón auxiliar escribe el doble de lo que tenga el primero.
Llegados a este paso tenemos el radicando 1753 y en el cuarto auxiliar hay que poner el doble de los dos dígitos ya resueltos (25), que sería 50.
6Separa el radicando y divide por la última incógnita.
Volvemos a descartar el último número del radicando y nos queda 175. Lo volvemos a dividir por lo que ponga en el cuarto auxiliar, 175/50 y el resultado es 3 (hay que descartar los decimales). Volvemos a escribir la incógnita y multiplicar por ella misma: 503X3=1509.
7Vuelve a restar.
Restamos el resultado al radicando y nos queda 244.
8Si no hay más dígitos se acaba la raíz cuadrada.
La incógnita la volvemos a subir al renglón raíz y como ya no nos quedan más dígitos en el radicando, la raíz cuadrada se acaba. Si en el radicando hubiera decimales, deberiamos poner una coma junto al 253 y seguir resolviendo como los pasos anteriores.
9Busca una calculadora...
Si tienes cerca una calculadora te puedes ahorrar el resto de pasos. Si la calculadora que vas a utilizar es la del ordenador te enseñamos a hacerlo, porque no aparece el icono de raíz cuadrada. Lo primero es abrir la calculadora (Inicio/Todos los programas/Accesorios/Calculadora). Después, despliega la pestaña 'Ver' y selecciona 'Científica'. A continuación, escribe el radicando, 64253, selecciona la palabra Inv. que está a la izquierda y pincha la tecla en rosa que encontrarás abajo donde indica x al cuadrado.
Ejercicios de Raíz Cuadrada – Parte 1ª-
1a.
√2401
1b.
√484
1c.
√2704
2a.
√3364
2b.
√1369
2c.
√5329
3a.
√7056
3b.
√256
3c.
√2809
4a.
√6084
4b.
√3136
4c.
√5929
5a.
√4761
5b.
√7569
5c.
√3721
Soluciones de ejercicios de raíz cuadrada – Parte 1ª-
1a.
49
1b.
22
1c.
52
2a.
58
2b.
37
2c.
73
3a.
84
3b.
16
3c.
53
4a.
78
4b.
56
4c.
77
5a.
69
5b.
87
5c.
61
Ejercicios de Raíz Cuadrada – Parte 2ª-
1a.
√70392
1b.
√67904
1c.
√58894
2a.
√29646
2b.
√64234
2c.
√19684
3a.
√62379
3b.
√38305
3c.
√80359
4a.
√32402
4b.
√18818
4c.
√40785
5a.
√25230
5b.
√2958
5c.
√23371
Soluciones de ejercicios de raíz cuadrada – Parte 2ª-
1.a
265
1.b
260
1.c
242
2.a
172
2.b
253
2.c
140
3.a
249
3.b
195
3.c
283
4.a
180
4.b
137
4.c
201
5.a
158
5.b
54
5.c
152
Leyes matematicas
Leyes de la suma
Las leyes de la suma son 5: Ley de la uniformidad, ley conmutativa, ley asociativa, ley disociativa y ley de monogamia.
Ley de uniformidad:
Esta ley puede anunciarse de tres modos que son equivalentes:
Ejemplo:
3 sillas + 4 sillas = 7 sillas
3 mesas + 4 mesas = 7 mesas
3 días + 4 días = 7 días
Vemos pues que la suma de 3 y 4 cualquiera que sea la naturaleza de los conjuntos que ellos representan, siempre es 7.
la suma de varios # dados tiene un valor único o siempre es igual.
Ejemplo:
Si en cada aula de un colegio cada asiento esta ocupado por un alumno de modo que no queda ningún alumno sin asiento ni ningún asiento vacío, tenemos que el numero de alumnos de cada aula es igual al numero de asientos de aula.
Si sumamos los números que representan los alumnos de cada una de las aulas, esta suma será igual a la suma de los números que representan los asientos de cada una de las aulas.
la suma de números respectivamente iguales son iguales:
suma de igualdades. Sumando miembro a miembro varias igualdades resulta una igualdad.
Así sumando miembro a miembro las igualdades.
a=b
c=d
m=n
Resultado a + c + m = b + d +n
Ley conmutativa:
El orden de los sumando no altera la suma.
Ejemplo: si en la suma
2 litros + 3 litros + 4 litros = 9 litros
Cambiamos el orden de los conjuntos sumados el conjunto mas no varia porque contiene el mismo numero de elementos y así tenemos.
3 litros + 2 litros + 4 litros = 9 litros
4 litros + 3 litros + 2 litros = 9 litros
Por tanto podemos escribir que
2 + 3 + 4 = 3 + 2 + 4 = 4 + 3 + 2 = 2 + 4 + 3 etc
Ley asociativa:
La suma de varios números no varia sustituyendo varios sumandos por su suma.
Ejemplo:
si a tiene 5 años, b 6 años y c 8 años, sumando edades, tendremos:
5 años + 6 años + 8 años = 19 años
el mismo resultado se obtiene si sumo primero las edades de a y b, la cual se indica incluyendo estas cantidades en un ( ) y a esta suma le añadimos la edad de c.
(5 años + 6 años) + 8 años = 19 años
Porque en ambos casos el conjunto suma contendrá el mismo numero 8 años luego tenemos que 5 + 6 + 8 = (5 + 6) + 8
La suma de varios números no se altera descomponiendo 1 o varios sumando en 2 0 mas sumandos.
Esta ley es reciproca de la ley asociativa.
Ejemplo:
en la suma 10 + 3 puesto que 10 = 8 + 2 tendremos que 10 + 3 = 8 + 2 +3
en la suma 12 + 15, puesto que 12 = 9 + 3 y 15 = 7 + 6 + 2, tendremos
12 + 15 = 9 + 3 + 7 + 6 +2
Ley de la multiplicación.
El orden de los factores no altera el producto
Se pueden considerar 2 pasos:
que se trate de 2 factores
que se trate de 20 o mas factores
que se trate de 2 factores sea el producto 6 x 4. vamos a demostrar que 6 x 4 = 4 x 6 en efecto.
6 x 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24
4 x 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24
Y como 2 cosas iguales a una tercera son iguales entre si tendremos.
6 x 4 o 4 x 6
En general
que se trate de suma de 2 factores
Sea el producto 5 x 4 x 3 x 2 vamos a demostrar que invirtiendo el orden de los factores no se altera el producto.
En efecto el producto 5 x 4 x 3 x 2 se puede considerar descompuesto en estos 2 factores:
5 o 4 y 3 o 2 y como para dos factores ya esta demostrado que el orden de los mismos no altera el producto tendremos 5 o 4 x 3 o 2 = 3 o 2 x 5 o 4
El mismo producto 5 x 4 x 3 x 2 se puede considerar descompuesto en otros 2 factores:
5 o 4 o 3 y 2 y como el orden de los mismos no altera el producto tendremos.
5 o 4 o 3 x 2 = 2 x 5 o 4 o 3
Por medio de esta descomposición podemos hacer todas las combinaciones posibles de factores y en cada caso se demuestra que el orden de los mismos no altera el producto, luego queda demostrado lo que nos proponíamos en general:
abad = bacd = cadb etc
Ley asociativa.
El producto de varios números no varia sustituyendo 2 o más factores por su producto.
isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.-Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.) Filósofo y matemático griego. Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona.
Pitágoras
Parece seguro que Pitágoras fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de su vida la pasó en Samos, la isla que probablemente abandonó unos años antes de la ejecución de su tirano Polícrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este último país, cuna del conocimiento esotérico, se le atribuye haber estudiado los misterios, así como geometría y astronomía.
Algunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia con Cambises, para aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. Se habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde gozó de considerable popularidad y poder.
La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto.
La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo.
El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de «amor a la sabiduría».
También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.
El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como armonía; en virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico, y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas.
La voluntad unitaria de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la relación que establecía entre el orden cósmico y el moral; para los pitagóricos, el hombre era también un verdadero microcosmos en el que el alma aparecía como la armonía del cuerpo. En este sentido, entendían que la medicina tenía la función de restablecer la armonía del individuo cuando ésta se viera perturbada, y, siendo la música instrumento por excelencia para la purificación del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo. La santidad predicada por Pitágoras implicaba toda una serie de normas higiénicas basadas en tabúes como la prohibición de consumir animales, que parece haber estado directamente relacionada con la creencia en la transmigración de las almas; se dice que el propio Pitágoras declaró ser hijo de Hermes, y que sus discípulos lo consideraban una encarnación de Apolo.
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de lahipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
cm. 
y 
, y la medida de la 
, se establece que:
